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​​形式的冪級数におけるlogについての思考

​​導入

​​可換環​​$R$​は有理数体​​$Q$​を部分体として含むものとします。

​​形式的冪級数

​​​​$exp(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!} \in R[[x]]$​

​​を考えます。

​​​​$f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i \in R[[x]]$​が任意に与えられたとき、​​$f(x)=exp(g(x))$​を満たす​​$g(x) \in R[[x]]_0$​について考えます。このような​​$g(x)$​が存在するのは、​​$f(x)$​がどんな条件を満たすときでしょうか？また、存在する場合に、一意に定まるでしょうか？

​​

​​観察

​​​​$f(x)=exp(g(x))$​の両辺の定数項を見ると、

​​​​$[x^0]f(x)=1$​

​​が分かる。以降、​​$[x^0]f=1$​を仮定する。

​​

​​​​$f=exp(g)$​の両辺を微分してやると、

​​​​$f=exp(g)$​

​​​​$\Rightarrow f'=exp(g)*g'=f*g'$​

​​が分かる。また、​​$[x^0]f=1$​より​​$f \in R[[x]]^{*}$​だから、乗法逆元​​$f^{-1}$​が存在して、

​​​​$f'=f*g' \Leftrightarrow g'=f'*f^{-1}$​

​​が分かる。最後に、​​$g[x^0]=0$​に注意すると、​​$\int \frac{d}{dx}g = g$​であるから、

​​​​$g'=f'*f^{-1} \Leftrightarrow g=\int (f'*f^{-1})$​

​​

​​以上より、​​$f=exp(g) \Rightarrow g=\int (f'*f^{-1})$​が分かった。

​​(解が存在すれば一意だということ)

​​

​​

​​定義

​​以上の観察より、写像​​$log$​を導入する。

​​定数項が​​$1$​であるような形式的冪級数全体の集合を​​$R[[x]]_1$​とおく。

​​

​​​​$log:R[[x]]_1 \ni f \to \int (f'*f^{-1}) \in R[[x]]_0$​

​​この写像が、全単射であることを言う。

​​

​​単射性：

​​​​$f,g \in R[[x]]_1$​が、​​$log(f)=log(g)$​を満たすとする。

​​このとき、定義より

​​​​$\int (f'*f^{-1})=\int(g'*g^{-1})$​

​​である。両辺を微分して整理すると、

​​​​$f'*f^{-1}-g'*g^{-1}=0 \Leftrightarrow f'g-g'f=0 \Leftrightarrow \frac{d}{dx}(\frac{f}{g})=0$​

​​となるが、​​$f,g$​の定数項が​​$1$​であることと合わせると、

​​​​$f=g$​が従う。

​​

​​全射性：

​​​​$g \in R[[x]]_0$​に対して、​​$f=exp(g)$​と置くと、​​$f'=\frac{d}{dx}exp(g)=g'exp(g)$​より、

​​​​$log(f)=\int(f'*f^{-1})=\int(g'*exp(g)*exp(g)^{-1})=\int g' =g$​

​​となる。

​​

​​

​​以上より写像​​$log$​が全単射だとわかった。

​​ここで、​​$exp(x)$​に代入する、という操作を写像だと思ってみる：

​​​​$exp:R[[x]]_0 \ni g \to exp(g) \in R[[x]]_1$​