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FPSのSubstitution Group
文献
https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-journal-of-mathematics/article/substitution-groups-of-formal-power-series/1097FDFEA0EFAD04D546AB4D2C8B9361
導入
定数項なし、一次の項の係数が単数であるような
R
R
R
上のFPS(
R
R
R
は可換環)の集合を考える ここでは
G
G
G
とする
上記文献だと一次の項の係数は
1
1
1
に限定しているが、単数だと考えても差し支えない気がする 深い議論をするときに困るのかな
演算
f
(
x
)
,
g
(
x
)
∈
G
f(x),g(x) \in G
f
(
x
)
,
g
(
x
)
∈
G
に対して、FPSの代入操作(Substitution)
f
(
g
(
x
)
)
f(g(x))
f
(
g
(
x
)
)
を考える
二項演算
∘
:
G
×
G
∋
(
f
,
g
)
→
f
(
g
(
x
)
)
∈
G
\circ : G \times G \ni (f,g) \to f(g(x)) \in G
∘
:
G
×
G
∋
(
f
,
g
)
→
f
(
g
(
x
)
)
∈
G
によって
G
G
G
は群を成すよという話 以下、確認
閉じているか
そもそも演算
∘
\circ
∘
が閉じているか気になる
[
x
0
]
g
(
f
(
x
)
)
=
0
[x^0]g(f(x))=0
[
x
0
]
g
(
f
(
x
)
)
=
0
は明らか
[
x
]
f
(
g
(
x
)
)
=
(
[
x
]
f
(
x
)
)
(
[
x
]
g
(
x
)
)
[x]f(g(x))=([x]f(x))([x]g(x))
[
x
]
f
(
g
(
x
)
)
=
(
[
x
]
f
(
x
)
)
(
[
x
]
g
(
x
)
)
という関係式がすぐにわかって、単数の積は再び単数であることから従う
結合法則
超本質 ここを明確に確認している文献をまだ見つけられていないが、ここを示さないと他も示せない
自力でどうにかなる？？？？？
合気道
(
f
∗
g
)
(
h
(
x
)
)
=
f
(
h
(
x
)
)
∗
g
(
h
(
x
)
)
(f*g)(h(x))=f(h(x))*g(h(x))
(
f
∗
g
)
(
h
(
x
)
)
=
f
(
h
(
x
)
)
∗
g
(
h
(
x
)
)
を言いたくなってきた(上記の証明でも、
(
g
∘
h
)
k
=
g
k
∘
h
(g \circ h)^k = g^k \circ h
(
g
∘
h
)
k
=
g
k
∘
h
という変形をするときにこの主張が必要)
これが言えないと、例えば、
1
/
(
1
−
x
)
1/(1-x)
1
/
(
1
−
x
)
に
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
を代入したくなったときに(数え上げとかでよくあるはず)、
(
1
−
x
)
∗
1
/
(
1
−
x
)
=
1
(1-x) * {1/(1-x)}=1
(
1
−
x
)
∗
1
/
(
1
−
x
)
=
1
の両辺に
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
を代入して、
(
1
−
f
(
x
)
)
∗
1
/
(
1
−
f
(
x
)
)
=
1
⇒
1
/
(
1
−
f
(
x
)
)
=
(
1
−
f
(
x
)
)
−
1
(1-f(x)) * 1/(1-f(x))=1 \Rightarrow 1/(1-f(x))=(1-f(x))^{-1}
(
1
−
f
(
x
)
)
∗
1
/
(
1
−
f
(
x
)
)
=
1
⇒
1
/
(
1
−
f
(
x
)
)
=
(
1
−
f
(
x
)
)
−
1
みたいな変形ができないはず
合気道2 読みづらいからそのうち入力する
以上より、FPSの基本的な式(和、差、積、逆元の組み合わせ)で表されるFPS(例えば、
f
(
x
)
=
(
(
g
(
x
)
+
h
(
x
)
)
∗
a
(
x
)
)
−
1
f(x)=((g(x)+h(x))*a(x))^{-1}
f
(
x
)
=
(
(
g
(
x
)
+
h
(
x
)
)
∗
a
(
x
)
)
−
1
とか)に対して代入を行いたいときは、各項に別々に代入していいことがわかります(つまり、カジュアルにやっていい)
単位元
x
x
x
が単位元です。確認は容易
逆元
f
(
x
)
∈
G
f(x) \in G
f
(
x
)
∈
G
に対して
g
(
f
(
x
)
)
=
x
g(f(x))=x
g
(
f
(
x
)
)
=
x
となるような
g
(
x
)
∈
G
g(x) \in G
g
(
x
)
∈
G
が満たすべき条件を考えてあげる
g
(
f
(
x
)
)
g(f(x))
g
(
f
(
x
)
)
の各係数を計算してあげると、
[
x
]
g
(
x
)
=
(
[
x
]
f
(
x
)
)
−
1
[x]g(x)=([x]f(x))^{-1}
[
x
]
g
(
x
)
=
(
[
x
]
f
(
x
)
)
−
1
で、
n
>
1
n>1
n
>
1
においては
[
x
n
]
g
(
x
)
[x^n]g(x)
[
x
n
]
g
(
x
)
は漸化式的に計算されることがわかる 漸化式による数列の定義は正当な操作(少なくとも二項間漸化式の時の証明は見たことがある それ以前のすべての項が関係する漸化式のときも大丈夫だと思う 理由：大丈夫じゃなかったらもっと議論されているはず)であるため、逆元が存在することが言える。
g
(
x
)
∈
G
g(x) \in G
g
(
x
)
∈
G
に対して
g
(
f
(
x
)
)
=
x
g(f(x))=x
g
(
f
(
x
)
)
=
x
となるような
f
(
x
)
∈
G
f(x) \in G
f
(
x
)
∈
G
も同様に存在が確かめられる
逆元の一意性
f
f
f
に対して、
g
g
g
を左逆元、
h
h
h
を右逆元とすると、
g
=
g
∘
(
f
∘
h
)
=
(
g
∘
f
)
∘
h
=
h
g = g \circ (f \circ h)=(g \circ f) \circ h =h
g
=
g
∘
(
f
∘
h
)
=
(
g
∘
f
)
∘
h
=
h
となることから、右逆元も左逆元も一意で、なおかつ右逆元と左逆元が一致する
よく見るとこれはただの群論の議論ですね
以上より群を成すことが確かめられました 完
メモ
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文献
導入
演算
閉じているか
結合法則
単位元
逆元
メモ