Loading...

​​2. Lineární prostor, báze a dimenze, řešení soustav lineárních rovnic, lineární zobrazení, základy maticového počtu

​​Lineární prostor

​​Neprázdná množina L se nazývá lineární vektorový prostor nad tělesem R , jestliže je splněno následujících deset podmínek.

1. ​​Pro každé dva prvky ​​$u,v \in L$​ je jednoznačně určen prvek ​​$u+v \in L$​ nazývaný součet prvků ​​$u$​ a ​​$v$​.

2. ​​Pro každý prvek ​​$u \in L$​ a pro každý prvek ​​$\lambda \in R$​ je jednoznačně určen prvek ​​$\lambda \cdot u \in L$​ nazývaný násobek prvku ​​$u$​ prvkem ​​$\lambda$​

3. ​​​​$u+v=v+u$​ pro každé dva prvky ​​$u,v \in L$​ (komutativita)

4. ​​​​$( u+v ) +w=u+( v+w )$​ pro každé tři prvky ​​$u,v,w \in L$​ (asociativita)

5. ​​Existuje prvek ​​$0 \in L$​ . takový, že pro každý prvek ​​$u \in L$​ platí ​​$u+0=0+u=u$​

6. ​​Pro každý prvek ​​$u \in L$​ existuje prvek ​​$-u \in L$​ takový, že ​​$u+( -u ) =( -u ) +u=0$​

7. ​​​​$\lambda \cdot ( u+v ) = \lambda u + \lambda v$​ pro každé dva prvky ​​$u,v \in L$​ a pro každý prvek ​​$\lambda \in R$​.

8. ​​​​$( \lambda + \alpha ) u = \lambda u + \alpha u$​ pro každý prvek ​​$u \in L$​ a pro každé dva prvky ​​$\lambda, \alpha \in R$​.

9. ​​​​$( \lambda \alpha ) u= \lambda ( \alpha u )$​ pro každý prvek ​​$u \in L$​ a pro každé dva prvky ​​$\lambda, \alpha \in R$​.

10. ​​​​$1 u = u$​ pro každý prvek ​​$u \in L$​

​​Lineární podprostor

​​Neprázdná podmnožina W vektorového prostoru V nad tělesem T se nazývá podprostorem V , pokud pro libovolné vektory ​​$u,v \in W$​ a libovolný skalár ​​$\lambda \in T$​ platí:

• ​​​​$a+b \in W$​

• ​​​​$\lambda a \in W$​

• ​​nulový vektor je prvkem W

​​Množina W je tedy uzavřená vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem.

​​Lineární kombinace

​​Nechť ​​$L$​ je lineární prostor, ​​$v_1,v_2,...,v_n \in L$​  a ​​$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n \in R$​ . Prvek ​​$\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n \in L$​ se nazývá lineární kombinace prvků ​​$v_1,v_2,...,v_n$​ s koeficienty ​​$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$​ .

• ​​Lineární kombinace ​​$\lambda_1 v_1, \lambda_2 v_2,..., \lambda_n v_n$​ se nazývá netriviální, pokud existuje ​​$i \in \{1,2,...,n\}$​ takové, že ​​$\lambda_i \neq 0$​

• ​​Lineární kombinace ​​$\lambda_1 v_1, \lambda_2 v_2,..., \lambda_n v_n$​ se nazývá triviální, jestliže ​​$\lambda_i = 0$​ pro každé ​​$i=1,2,...,n$​

​​Lineární závislost a nezávislost

​​Prvky ​​$v_1,v_2,...,v_n$​ množiny ​​$M$​ se nazývají lineárně závislé, pokud existuje taková netriviální lineární kombinace těchto prvků, která vyhovuje vztahu ​​$\sum_{i=1}^{n} a_i v_i = 0$​ kde ​​$a_i$​ je skalár. V opačném případě jsou lineárně nezávislé.

• ​​Pro lineárně nezávislé prvky je jediným řešením výše uvedeného vzorce triviální řešení, tedy ​​$a_i = 0$​

• ​​Jsou-li prvky lineárně závislé, je možné nějaký z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních prvků

​​Báze

​​Lineární obal

​​Mějme množinu ​​$M$​ , která je podmnožinou vektorového prostoru ​​$V$​ . Průnik všech podprostorů prostoru ​​$V$​ , které obsahují množinu M se nazývá lineárním obalem množiny ​​$M$​ .

​​Zjednodušeně - lineární obal množiny ​​$M$​ podprostor prostoru V . Co obsahuje? Všechny ty prvky, ke kterým se mohu dostat libovolnou lineární kombinací vektorů z množiny ​​$M$​ .

​​​​$\langle M \rangle = \{ \sum_{i=1}^{n} a_i u_i \mid u_i \in M, a_i \in R, i=1,2,3,...,n \}$​

​​Báze

​​Báze vektorového prostoru V je nejmenší množina lineárně nezávislých vektorů taková, že její lineární obal je roven celému prostoru V . V konečně dimenzionálním prostoru dimenze n je bází každá množina obsahující n lineárně nezávislých vektorů.

• ​​Obal báze prostoru V tvoří celý prostor V

• ​​Vektory báze jsou lineárně nezávislé.

• ​​Prostor může mít více bází. Všechny ale mají stejný počet prvků.

​​Dimenze

​​Dimenze lineárního prostoru ​​$L$​ je počet prvků báze tohoto prostoru. Dimenzi prostoru ​​$L$​ značíme ​​$dim\,L$​. Dimenzi jednobodového lineárního prostoru ​​$L = \{ \emptyset \}$​ pokládáme rovnu ​​$0$​.

​​Nechť ​​$L$​ lineární prostor a ​​$M \subseteq L$​ je lineární podprostor ​​$L$​ pak ​​$dim\,M \leq dim\,L$​.

​​Řešení soustav lineárních rovnic

​​​​$A$​ matice reálných čísel typu ​​$(m,n)$​, dále ​​$x$​ je jednosloupcová matice symbolů​​$\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$​ typu ​​$(n,1)$​ a ​​$b$​ je matice reálných čísel ​​$\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$​ typu ​​$(m,1)$​. Pak maticovou rovnost ​​$Ax=b$​ nazýváme soustavou m lineárních rovnic o n neznámých. Matici A nazýváme maticí soustavy a vektor ​​$b^T = (b_1, \cdots, b_m)$​ nazýváme vektorem pravých stran. Připíšeme-li k matici soustavy do dalšího sloupce matici b oddělenou svislou čarou, dostáváme matici ​​$(A \mid b)$​ typu ​​$(m,n+1)$​, kterou nazýváme rozšířenou maticí soustavy.

​​Řešení soustavy ​​$Ax=b$​ je takový vektor ​​$\alpha = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n) \in R^n$​, pro který platí: dosadíme-li hodnoty ​​$\alpha_i$​ za symboly ​​$x_i$​, pak je splněna požadovaná maticová rovnost, tj.:

​​​​$A \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$​

​​Řešit soustavu ​​$Ax=b$​ znamená nalézt všechna její řešení.

​​Frobeniova Věta

​​Soustave ​​$Ax=b$​ má řešení právě těhdy, když ​​$hodA = hod(A\mid b)$​ 

​​Lineární zobrazení

​​Pojmem lineární zobrazení (lineární transformace) se v matematice označuje takové zobrazení mezi vektorovými prostory ​​$U$​ a ​​$V$​ , které zachovává vektorové operace sčítání a násobení skalárem. Název lineární je odvozen z faktu, že grafem obecného lineárního zobrazení z reálných čísel do reálných čísel je přímka.

1. ​​​​$L( u+v ) =L( u ) +L( v ), u \in U,v \in V$​   (aditivita)