10. Způsoby popisu rozdělení náhodných veličin a vektorů. Odhady parametrů rozdělení. Základní statistické testy. Markovské řetězce a jejich asymptotické vlastnosti.
Náhodný pokus má n ∈ N různých, vzájemně se vylučujících výsledků, které jsou stejně možné.
Elementární jevy = výsledky nahodného pokusu
Množina všech elementárńıch jev̊u: Ω
Jev je podmnožina všech elementárních jevů ( A ⊆ Ω )
Pravděpodobnost jevu A : P(A)=∣Ω∣∣A∣
Jevové pole: všechny jevy pozorovatelné v náhodném pokusu, zde expΩ(=množina všech podmnožin množiny Ω)
1.2 Kolmogorovova pravděpododobnost
Elementárních jevů(=prvků množiny Ω) může být nekonečně mnoho, nemusí být stejně pravděpodobné
Jevy jsou podmnožiny množiny Ω, ale ne nutně všechny. Tvoří podmnožinu A ⊆ exp Ω , která splňuje podmínky σ-algebry(viz. 1.3).
Pravděpodobnost není určena strukturou jevů jako u Laplaceova modelu, je to funkce P: A → ⟨ 0,1 ⟩ , splňující podmínky:
(P1) P( 1 ) =1,
(P2) P( ⋃ n ∈ N A n ) = ∑ n ∈ N P( A n ) , pokud jsou množiny(=jevy) A n , n ∈ N , po dvou neslučitelné
Pravděpodobnostní prostor je trojice ( Ω , A ,P ) , kde Ω je neprázdná množina, A je σ-algebra podmnožin množiny Ω a P je pravděpodobnost.
1.3 σ-algebra
σ-algebra je teoretický koncept výběru jistých podmnožin dané množiny, který splňuje pevně definované podmínky. Koncept σ-algebry umožňuje například zavést míru, čehož se dále využívá zejména v matematické analýze k budování pojmu integrál a právě v teorii pravděpodobnosti[wikipedia]. Systém podmnožin A nějaké množiny Ω musí splňovat podmínky:
∅ ∈ A
A ∈ A ⇒ A ‾ ∈ A(uzavřenost vůči doplňku)
( ∀ n ∈ N : A n ∈ A ) ⇒ ⋃ n ∈ N A n ∈ A )(uzavřenost vůči sjednocení)
Nejmenší σ-algebra podmnožin R , která obsahuje všechny intervaly, se nazývá Borelova σ-algebra. Obsahuje všechny intervaly otevřené, uzavřené i polouzavřené, i jejich spočetná sjednocení, a některé další množiny, ale je menší ́než exp R . Její prvky nazýváme borelovské množiny.
2 Náhodná veličina a náhodný vektor
2.1 Náhodná veličina
Je na pravděpodobnostním prostoru ( Ω , A ,P ) měřitelná funkce X: Ω → R(přiřazuje každému jevu jevového pole reálné číslo[wikipedia]).
Náhodné veličiny lze rozdělit na nespojité(diskrétní) a spojité. Diskrétní veličiny mohou nabývat pouze spočetného počtu hodnot(konečného i nekonečného), zatímco spojité veličiny nabývají hodnoty z nějakého intervalu(konečného nebo nekonečného)[wikipedia].
Příklad: Havárie aut označíme cenou škody a můžeme se ptát, jak je pravděpodobné, že havárie dosáhne určité škody.
Pro každý interval I platí
X-1 ( I ) ={ ω ∈ Ω ∣ X( ω ) ∈ I} ∈ A Popisuje ji Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X :
P X ( I ) =P[ X ∈ I ] =P( { ω ∈ Ω ∣ X( ω ) ∈ I} )
to je funkce, která učuje pravděpodobnost toho, že náhodná veličina nabyde určité hodnoty.
Místo pravděpodobnostní funkce, můžeme použít úspornější Distribuční funkci ( F X ), která se omezuje na intervaly tvaru I=(- ∞ ,t ⟩ ,t ∈ R
P[ X ∈(- ∞ ,t ⟩ ] =P[ X ≤ t ] = P X(( - ∞ ,t ⟩ ) = F X ( t ) Různými kombinacemi distribuční funkce ( F X : R → ⟨ 0,1 ⟩ ) můžeme plně nahradit pravděpodobnostní funkci.
Vlastnosti distribuční funkce:
neklesající
zprava spojitá
lim t → - ∞ F x ( t ) =0 , lim t → ∞ F x ( t ) =1
Distribuční funkce pro absolutně spojitou veličinu:
F X ( t ) = ∫ t - ∞ f X ( u ) du,
kde f X je tzv. hustota náhodné veličiny. Je to nezáporná funkce ( f X : R → ⟨ 0, ∞ ) ) a splňuje ∫ ∞ - ∞ f X ( u ) du=1
PREVIOUS
1 Základní pojmy pravděpodobnosti
2 Náhodná veličina a náhodný vektor