10. Způsoby popisu rozdělení  náhodných veličin a vektorů. Odhady parametrů rozdělení. Základní statistické testy. Markovské řetězce a jejich asymptotické vlastnosti.
https://cs.wikipedia.org/wiki/Rozd%C4%9Blen%C3%AD_pravd%C4%9Bpodobnosti - dobrý shrnutí popisu náhodných veličin a vektorů

Testování hypotéz - příklad

PREVIOUS

1 Základní pojmy pravděpodobnosti

1.1 Laplaceova (klasická) pravděpodobnost
  • Náhodný pokus má n ∈ N různých, vzájemně se vylučujících výsledků, které jsou stejně možné.
  • Elementární jevy = výsledky nahodného pokusu
  • Množina všech elementárńıch jev̊u: Ω
  • Jev je podmnožina všech elementárních jevů ( A ⊆ Ω )
  • Pravděpodobnost jevu A : P(A)=AΩP(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}
  • Jevové pole: všechny jevy pozorovatelné v náhodném pokusu, zde expΩ (=množina všech podmnožin množiny Ω)
1.2 Kolmogorovova pravděpododobnost
  • Elementárních jevů (=prvků množiny Ω) může být nekonečně mnoho, nemusí být stejně pravděpodobné
  • Jevy jsou podmnožiny množiny Ω, ale ne nutně všechny. Tvoří podmnožinu A ⊆ exp Ω , která splňuje podmínky σ-algebry (viz. 1.3).
  • Pravděpodobnost není určena strukturou jevů jako u Laplaceova modelu, je to funkce P: A → ⟨ 0,1 ⟩ , splňující podmínky: 
  • (P1) P( 1 ) =1,
  • (P2) P( ⋃ n ∈ N A n ) = ∑ n ∈ N P( A n ) , pokud jsou množiny (=jevy) A n , n ∈ N , po dvou neslučitelné
  • Pravděpodobnostní prostor je trojice ( Ω , A ,P ) , kde Ω je neprázdná množina, A je σ-algebra podmnožin množiny Ω a P je pravděpodobnost.
1.3 σ-algebra
σ-algebra je teoretický koncept výběru jistých podmnožin dané množiny, který splňuje pevně definované podmínky. Koncept σ-algebry umožňuje například zavést míru, čehož se dále využívá zejména v matematické analýze k budování pojmu integrál a právě v teorii pravděpodobnosti [wikipedia]. Systém podmnožin A nějaké množiny Ω musí splňovat podmínky:
  1. ∅ ∈ A
  1. A ∈ A ⇒ A ‾ ∈ A (uzavřenost vůči doplňku)
  1. ( ∀ n ∈ N : A n ∈ A ) ⇒ ⋃ n ∈ N A n ∈ A ) (uzavřenost vůči sjednocení)
Nejmenší σ-algebra podmnožin R , která obsahuje všechny intervaly, se nazývá Borelova σ-algebra. Obsahuje všechny intervaly otevřené, uzavřené i polouzavřené, i jejich spočetná sjednocení, a některé další množiny, ale je menší ́než exp R . Její prvky nazýváme borelovské množiny.

2 Náhodná veličina a náhodný vektor

2.1 Náhodná veličina
Je na pravděpodobnostním prostoru ( Ω , A ,P ) měřitelná funkce X: Ω → R (přiřazuje každému jevu jevového pole reálné číslo [wikipedia]).
Náhodné veličiny lze rozdělit na nespojité (diskrétní) a spojité. Diskrétní veličiny mohou nabývat pouze spočetného počtu hodnot (konečného i nekonečného), zatímco spojité veličiny nabývají hodnoty z nějakého intervalu (konečného nebo nekonečného) [wikipedia].
Příklad: Havárie aut označíme cenou škody a můžeme se ptát, jak je pravděpodobné, že havárie dosáhne určité škody.
Pro každý interval I platí
X -1 ( I ) ={ ω ∈ Ω ∣ X( ω ) ∈ I} ∈ A Popisuje ji Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X :
P X ( I ) =P[ X ∈ I ] =P( { ω ∈ Ω ∣ X( ω ) ∈ I} )
to je funkce, která učuje pravděpodobnost toho, že náhodná veličina nabyde určité hodnoty.
Místo pravděpodobnostní funkce, můžeme použít úspornější Distribuční funkci ( F X ), která se omezuje na intervaly tvaru I=(- ∞ ,t ⟩ ,t ∈ R
P[ X ∈ (- ∞ ,t ⟩ ] =P[ X ≤ t ] = P X (( - ∞ ,t ⟩ ) = F X ( t ) Různými kombinacemi distribuční funkce ( F X : R → ⟨ 0,1 ⟩ ) můžeme plně nahradit pravděpodobnostní funkci.
Vlastnosti distribuční funkce:
  • neklesající
  • zprava spojitá
  • lim t → - ∞ F x ( t ) =0 , lim t → ∞ F x ( t ) =1
Distribuční funkce pro absolutně spojitou veličinu:
F X ( t ) = ∫ t - ∞ f X ( u ) du,
kde f X je tzv. hustota náhodné veličiny. Je to nezáporná funkce ( f X : R → ⟨ 0, ∞ ) ) a splňuje ∫ ∞ - ∞ f X ( u ) du=1