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1. 形式的冪級数の導入
はじめに
1変数の形式的冪級数(formal power series しばしばFPSと略したりします)について簡単に紹介します。
自然数全体の集合
N
\mathbb{N}
N
は0を含みます(宣言)
注意
確認をしていないので、内容の誤りや、誤字・脱字などがある可能性が高いです。
また、数式をキレイに入力する方法がよくわからなかったので、かなり読みづらいです
なにかあれば筆者(@lattemalta)にリプしてください
定義1.1
R
R
R
を可換環とする。
R
R
R
の数列全体の集合(すなわち、
M
a
p
(
N
,
R
)
Map(\mathbb{N},R)
M
a
p
(
N
,
R
)
)
{
a
0
,
a
1
,
.
.
.
∣
a
i
∈
R
}
\{a_0,a_1,... | a_i \in R \}
{
a
0
,
a
1
,
.
.
.
∣
a
i
∈
R
}
に対して、和と積を定義します。
和：
2つの数列
{
a
i
}
,
{
b
i
}
\{a_i\},\{b_i\}
{
a
i
}
,
{
b
i
}
に対して、和
{
c
i
}
=
{
a
i
}
+
{
b
i
}
\{c_i\}=\{a_i\}+\{b_i\}
{
c
i
}
=
{
a
i
}
+
{
b
i
}
を、
c
k
=
a
k
+
b
k
c_k=a_k+b_k
c
k
=
a
k
+
b
k
(
k
=
0
,
1
,
.
.
.
)
(k=0,1,...)
(
k
=
0
,
1
,
.
.
.
)
なる数列
{
c
i
}
\{c_i\}
{
c
i
}
と定義します。
積：
多項式の積に類似した積を導入します。
2つの数列
{
a
i
}
,
{
b
i
}
\{a_i\},\{b_i\}
{
a
i
}
,
{
b
i
}
に対して積
{
c
i
}
=
{
a
i
}
∗
{
b
i
}
\{c_i\}=\{a_i\}*\{b_i\}
{
c
i
}
=
{
a
i
}
∗
{
b
i
}
を、
c
k
=
∑
i
=
0
k
a
i
b
k
−
i
c_k=\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}
c
k
=
∑
i
=
0
k
a
i
b
k
−
i
(
k
=
0
,
1
,
.
.
.
)
(k=0,1,...)
(
k
=
0
,
1
,
.
.
.
)
なる数列
{
c
i
}
\{c_i\}
{
c
i
}
と定義します。
定理1.2
M
a
p
(
N
,
R
)
Map(\mathbb{N},R)
M
a
p
(
N
,
R
)
は、上記の和に関してアーベル群を成す
証明:
結合法則
R
R
R
が環なので自明に成り立つ
単位元
数列
0
,
0
,
0
,
.
.
.
0,0,0,...
0
,
0
,
0
,
.
.
.
が単位元です。
逆元
{
a
i
}
\{a_i\}
{
a
i
}
の逆元は
{
−
a
i
}
\{-a_i\}
{
−
a
i
}
交換法則
Rが環なので自明に成り立つ
数列の和を、添え字ごとの和として定義すると、アーベル群になるよ、という話です
定理1.3
M
a
p
(
N
,
R
)
Map(\mathbb{N},R)
M
a
p
(
N
,
R
)
は、上記の和と積に関して可換環を成す
証明:
(長いしつまらないので適宜飛ばしてください)
和に関してアーベル群になること
定理1.2で示しました。
結合法則
(
(
{
a
i
}
∗
{
b
i
}
)
∗
{
c
i
}
)
k
((\{a_i\}*\{b_i\})*\{c_i\})_k
(
(
{
a
i
}
∗
{
b
i
}
)
∗
{
c
i
}
)
k
←数列
(
{
a
i
}
∗
{
b
i
}
)
∗
{
c
i
}
(\{a_i\}*\{b_i\})*\{c_i\}
(
{
a
i
}
∗
{
b
i
}
)
∗
{
c
i
}
の
k
k
k
番目の値、という意味です
=
∑
p
=
0
k
(
{
a
i
}
∗
{
b
i
}
)
p
c
k
−
p
=\sum_{p=0}^{k}(\{a_i\}*\{b_i\})_pc_{k-p}
=
∑
p
=
0
k
(
{
a
i
}
∗
{
b
i
}
)
p
c
k
−
p
←積の定義より
=
∑
p
=
0
k
(
∑
q
=
0
p
a
q
b
p
−
q
)
c
k
−
p
=\sum_{p=0}^{k}(\sum_{q=0}^{p}a_qb_{p-q})c_{k-p}
=
∑
p
=
0
k
(
∑
q
=
0
p
a
q
b
p
−
q
)
c
k
−
p
←再び積の定義より
Please turn on JavaScript to use Paper in all of its awesomeness. ^_^
はじめに
注意
定義1.1
和：
積：
定理1.2
定理1.3